度量空间为什么含于拓扑空间呢? 装潢设计图片

时间:2022-01-17 10:07:33 作者:admin 83299
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度量空间为什么含于拓扑空间呢?

在理论上有明确的证明过程

先明确,度量空间和拓扑空间的定义:

可以从度量空间诱导出度量拓扑,过程如下:

接下来证明(X, B?)是拓扑空间:

  • 证明B?满足拓扑条件1

  • 证明B?满足拓扑条件2

  • 证明B?满足拓扑条件3

综上,就证明了B?满足拓扑的所有条件,故(X, B?) 是从度量空间(X, d) 诱导出的拓扑空间,称 B?为度量拓扑。从B生产B?的方法刚好与从拓扑基生成拓扑的方法一致,因此B就是(X, B?)的一个拓扑基。

以上充分说明每个度量空间一定是拓扑空间,但拓扑空间却不一定是度量空间,例如:平凡拓扑 (X, {?, X}) 就不是距离空间。

通俗的理解

对于空间中给定的点x,测度空间给出了任何一个点到点x的距离,而拓扑空间只是给出了一些点的集合,利用集合的包含关系来区分这些集合中的点距离x的远近。

可考虑地图上画等高线:

  • 度量空间是明确的画出来了每条等高线,并标出了每条等高线的高度。

  • 拓扑空间是随画了一些圈没有任何标记,只是表示圈内的点比圈外的点更接近圈的中心。
这些都说明,拓扑空间是比测度空间更基础的空间。
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